도박사의 오류 (Gambler’s fallacy)

 


 

반갑습니다, 디노 인사드립니다.

도박사의 오류(Gambler’s fallacy)는 서로 독립적으로 일어나는 사건들이 확률에 영향을 미친다고 생각하는 논리적 오류를 말합니다.


동전 던지기

Q. 동전을 8번 던졌는데 앞면, 앞면, 앞면, 앞면, 앞면, 앞면, 앞면, 앞면 즉, 모두 앞면이 나왔습니다. 다음 번 동전 던지기에 돈을 베팅한다면 앞면에 베팅할 건가요? 아니면 뒷면에 베팅할 건가요?

A. 앞면이 나올 확률 50% 뒷면이 나올 확률 50%로 같습니다. 앞면이 여덟 번이 아니라 백 번 연속으로 나왔다고 하더라도 다음 동전 던지기에서 앞면과 뒷면의 확률은 같습니다.


 

Q. 동전을 8번 던졌는데 앞면, 뒷면, 앞면, 뒷면, 앞면, 뒷면, 앞면, 뒷면이 번갈아서 나왔습니다. 다음 번 동전 던지기에 돈을 베팅한다면 앞면에 베팅할 건가요? 아니면 뒷면에 베팅할 건가요?

A. 역시 앞면이 나올 확률 50% 뒷면이 나올 확률 50%입니다. 아무리 앞의 결과가 특정 규칙을 보이더라도 새로 던지는 동전은 앞의 규칙에서 영향을 받지 않습니다.


 

Q. 동전 던지기에 돈을 걸었는데 열 번 연속으로 틀렸습니다. 다음번에 베팅하면 적중할 가능성이 더 높을까요?

A. 아닙니다. 아무리 많이 틀렸다고 하더라도 다음에 적중될 확률은 변하지 않습니다. 여기서 도박사 즉, 도박을 하는 사람들은 다음과 같은 착각을 하게 됩니다.

  • 동전 던지기에서 앞과 뒤가 나올 확률이 같은데 뒤가 많이 나왔으니까 이번에는 앞이 나올 것이다.

  • 내가 돈을 딸 가능성과 잃을 가능성이 같은데 계속 잃었으니까 이번에는 이길 것이다.

  • 내가 오늘은 흐름이 좋으니까 좀 더 크게 돈을 걸어도 계속 이길 것이다.

  • 무조건 앞이 나올 확률이 더 높아질 것이다.

이것들은 대표적인 도박사의 오류이고 모두 착각입니다.

 

일상생활에서 도박사의 오류

  • 복권을 사서 매번 당첨되지 못한 경우 그다음에 사면 꼭 당첨될 것이라는 기대를 하게 되는 경우도 대표적인 도박사의 오류입니다.

  • 윷놀이에서 도, 개, 걸만 계속 나오면 그다음은 윷이나 모가 나올 확률이 높아질 것으로 생각하는 경우

  • 성공할 확률이 10% 정도밖에 되지 않는 수술을 해야 하는 상황에서 의사가 “그동안 환자 9명에게 이 수술을 해서 실패했으니까 이번엔 꼭 성공할 겁니다”라며 환자를 안심시키는 경우 등

이런 오류들에 “도박사의 오류”라는 이름이 붙은 이유는 카지노와 같은 도박판에서 많은 사람들이 이러한 오류들에 빠져있기 때문입니다.

 

시스템 베팅

시스템 베팅이란 베팅에 성공하거나 실패했을 때에 베팅 액수를 미리 설정한 단계에 맞춰서 조절하는 전략을 뜻합니다. 바카라 게임에서 마틴게일 베팅 전략을 예로 들어 보겠습니다.

 

베팅 1단계: 플레이어 또는 뱅커에 만 원을 겁니다.


베팅 2단계: 틀리면, 2만 원을 겁니다.


베팅 3단계: 틀리면, 4만 원을 겁니다.


베팅 4단계: 틀리면, 8만 원을 겁니다.


베팅 5단계: 틀리면, 16만 원을 겁니다.


베팅 6단계: 틀리면, 32만 원을 겁니다.


베팅 7단계: 틀리면, 64만 원을 겁니다.


베팅 8단계: 틀리면, 128만 원을 겁니다.


베팅 9단계: 틀리면, 256만 원을 겁니다.


 

위와 같이 베팅할 경우 한 번이라도 적중하면 만 원을 이기게 됩니다.

그럼 다시 베팅 1단계로 돌아가고 적중할 경우에는 (커미션 제외) 만 원씩 이기게 되어있습니다. 아홉 번 연속으로 틀릴 가능성은 0.2%에 달하는 낮은 확률이므로 안심해도 됩니다.

이것이 소위 ‘마틴게일 베팅 전략’이라고 인터넷상에 나도는 글의 기본 공식입니다. 어쨌든 위의 예시대로 할 경우 오백열 두 번 시도에서 오백열 한 번꼴로 확실하게 이길 수 있습니다.

다만 이 방법에는 치명적인 단점이 있는데 나머지 한 번이 문제입니다. 오백열 두 번 중에서 오백열 한 번은 만 원씩 이익이겠지만 나머지 한 번의 경우 즉, 256만 원까지 잃은 경우 총합은 511만 원의 손실을 보게 됩니다.

만 원씩 승리한다고 가정하면 커미션을 제외하고도 오백열 한 번의 베팅을 이겨야지만 획득할 수 있는 엄청난 배수의 손실 금액입니다. 소위 인터넷상의 베팅 전략 글들은 대부분 이런 것에 불과합니다.

얼핏 보면 이익을 극대화하고 손해를 최소화하는 것 같지만 실제로는 적은 확률로 엄청 큰 손해를 보게 되므로 어떠한 베팅 전략을 쓰더라도 결과는 마찬가지입니다.

다른 복잡한 배팅 전략들도 많지만 카지노 게임에서의 결과는 베팅 전략에 관계없이 확률에 가까워지게 됩니다.


 

다른 예를 알아보겠습니다. 다음과 같은 세 가지 확률의 게임이 있다고 할 때 어떤 게임을 하고 싶으신가요?

1. 열 번에 다섯 번은 천 원씩 잃고 다섯 번은 천 원씩을 이깁니다.


2. 열 번에 아홉 번은 천 원을 잃고 한 번은 구천 원을 이깁니다.


3. 열 번에 아홉 번은 천 원을 이기고 한 번은 구천 원을 잃습니다.


 

보통 1번이 재미없는 전략이고 2번은 나쁜 전략, 3번이 좋은 전략이라고 생각할 수 있습니다. 하지만 금액과 시간의 차이만 있을 뿐 결과는 모두 똑같습니다.

좋은 베팅 전략이라고 생각하고 조삼모사에 빠져서 이길 수 있다고 생각하게 되지만 카지노 게임에서 어떠한 베팅 전략들을 사용하더라도 확률에서 벗어나기는 사실상 힘듭니다.


 

정리

만약 “몇 번 베팅하지도 않았는데 설마 제가 511만 원을 잃는 0.2%에 해당될까요?”라고 생각한다면 전형적인 도박사의 오류입니다. 언제 터질지 아무도 모릅니다. 당연히 첫 번째에 터질 수도 있습니다.

그리고 “511만 원을 잃었으니까 이번에는 무조건 이기겠지”라고 생각한다면 이것 또한 도박사의 오류입니다. 0.2%의 확률도 매번 독립적이므로 당연히 연이어서 터질 수 있습니다.

카지노에서 승률이 50% 전후인 게임들은 베팅을 많이 하면 많이 할수록 zero에 가까워지게 됩니다.

베팅을 천 번, 만 번씩 많이 하면 많이 할수록 확률에 가까워지게 되는데 도박사의 오류와 베팅 전략 분석을 토대로 다음과 같은 결론을 얻을 수 있습니다.

“어떠한 좋은 분석이나 전략을 사용하더라도 카지노 게임의 확률과 승률을 바꿀 수는 없습니다.”

도박사의 오류(Gambler’s fallacy)를 이해하는 데 도움이 되셨으면 아래에 공유하기를 눌러주시고, 궁금한 점은 텔레그램으로 연락 주시면 답변해 드리겠습니다. 감사합니다.

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